\( \csc^3(x) \)의 적분

유도 및 평가

다음 적분을 구합니다:

\[ \int \csc^3(x) \, dx \]

피적분 함수 \( \csc^3(x) \)를 곱의 형태인 \( \csc x \csc^2 x \)로 씁니다:

\[ \int \csc^3(x) \, dx = \int \csc x \csc^2 x \, dx \]

다음과 같은 부분적분법 공식을 사용합니다: \( \int u' v \, dx = uv - \int u v' \, dx \).

\( u' = \csc^2 x \) 및 \( v = \csc x \)로 놓으면, \( u = -\cot x \)이고 \( v' = -\csc x \cot x \)가 됩니다.

부분적분 공식에 대입합니다:

\[ \int \csc^3(x) \, dx = (-\cot x)(\csc x) - \int (-\cot x)(-\csc x \cot x) \, dx \]

식을 정리합니다:

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int \cot^2 x \csc x \, dx \]

삼각함수 항등식 \( \cot^2 x = \csc^2 x - 1 \)을 사용하여 적분식을 다시 씁니다:

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int (\csc^2 x - 1) \csc x \, dx \]

피적분 함수를 전개합니다:

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int \csc^3 x \, dx + \int \csc x \, dx \]

표준 적분 \( \displaystyle \int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| \)을 사용하여 대입합니다:

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int \csc^3 x \, dx + \ln|\csc x - \cot x| \]

양쪽에 \( \displaystyle \int \csc^3 x \, dx \)를 더하고 정리합니다:

\[ 2 \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x + \ln|\csc x - \cot x| \]

모든 항에 \( \dfrac{1}{2} \)를 곱하고 적분 상수 \( c \)를 더하면 최종 해답을 얻습니다: